Lineares Gleichungssystem mit alpha

Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon Mareike85 » 17.01.2011, 14:51

Ich kann lineare Gleichungssysteme mit dem Gaußalgorithmus lösen, das ist kein Problem soweit, jedoch komm ich mit dem alpha in Bezug auf folgende Fragestellung nicht zurecht:
geg.
x1 + 2 x2 = 1
x2 − x3 = 1
x1 − x2 + alpha*x3 = −2

a) Für welche Werte von alpha Element aus R hat das Gleichungssystem keine, genau eine bzw. unendlich
viele Lösungen?
b) Berechnen Sie alle Lösungen für alpha = 3.
c) Ersetzen Sie die rechte Seite durch den Vektor b = (1, 1, 1)T . Wieviele Lösungen hat
das Gleichungssystem jetzt für alpha = 3?

Wenn mir jemand erklären könnte, wie ich da vorgehe, wär ich sehr dankbar.

lg
Mareike
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Re: Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon Fenris » 17.01.2011, 15:27

Du kannst das Gauß'sche Eliminations-Verfahren hier ebenso anwenden; das ist hier sogar sehr einfach. Probier das einfach mal aus! Auf was kommst du da?
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Re: Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon Mareike85 » 17.01.2011, 16:12

Ich komm da auf

1 2 0 1
0 1 -1 1
0 0 -3alpha 0

Das müsste doch soweit richtig sein?
Bei der Beantwortung der Fragen komm ich jetzt nicht weiter.
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Re: Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon Fenris » 17.01.2011, 16:26

Wenn "-3alpha" für "-3 + alpha" steht, dann ist es richtig. Du kannst nun entweder die Matrix noch reduzieren oder von unten anfangen die Variablen abzulesen und einzusetzen. In der letzten Zeile steht ja quasi:

(-3+alpha) · z = 0

Welche Lösungen hat diese Gleichung unter welchen Bedingungen?
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Re: Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon Mareike85 » 17.01.2011, 16:42

Für alpha=3 hat die Gleichung unendlich viele Lösungen, weil dann da 0=0 stehen würde und ich das in z=k darstellen würde.
Alles außer der würde doch dann zu keiner Lösung führen, weil doch dann immer sowas wie 3z=0 stehen würde, was keinen Sinn macht. Gibt es also kein alpha für genau eine Lösung?

Muß ich in bei der letzten Frage quasi die 1 1 -2 mit 1 1 1 austauschen, also mit den Werten hinter dem Gleichheitszeichen?

Danke schonmal, dass du dir die Zeit dafür nimmst!
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Re: Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon Fenris » 17.01.2011, 16:54

Also es gilt erstmal: (alpha = 3) → (z ist beliebig) und (alpha != 3) → (z = 0). Den zweiten Fall solltest du nochmal genauer unter die Lupe nehmen. Schreib doch mal die anderen Gleichungen mit auf!
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Re: Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon Mareike85 » 17.01.2011, 17:29

Es tut mir leid, dass ich mich so ungeschickt anstelle, aber bei mir hat es noch nicht klick gemacht.
Also, erstmal, was ich verstehe:
z=0 würde bedeuten, dass es eine Lösung gibt, aber was meinst du mit der ersten Klammer? Wie kommst du darauf? Dieses "!" versteh ich nicht :(
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Re: Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon Fenris » 17.01.2011, 17:52

Also wir haben folgende drei Gleichungen:
x + 2y = 1
y - z = 1
(alpha-3) z = 0

Fall 1: (alpha = 3)
Das hat zur Folge, dass die letzte Gleichung immer erfüllt wäre, egal welchen Wert z hat. Welchen Wert hat y in Abhängigkeit von z? Welchen hat dann x?

Fall 2: (alpha ≠ 3)
Hier muss (z = 0) gelten. Nun, dann kannst du aber ebenso rückwärts einsetzen, sogar diesmal mit einem konkreten Wert. Was ist dann y und x?
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Re: Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon Mareike85 » 17.01.2011, 19:44

Fall1:

x3=k
x2=1+k
x1=-1-2k

Fall2:

x3=0
x2=1
x1=-2

Richtig? Gibt es einen Fall wo das Gleichungssystem keine Lösung hat?
W
Ist Frage c) so gemeint, dass man das gleiche nochmal mit den neuen Werten hinter dem Gleichheitszeichen durchführt und schaut, was man nun für Ergebnisse bekommt?
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Re: Lineares Gleichungssystem mit alpha

Beitragvon kingcools » 18.01.2011, 17:05

Fall 2 ist falsch. x1 ist dann -1.

Zu c): Ja
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